Archive for 03月, 2008

柏拉图和数学

星期三, 03月 26th, 2008
  前面已经提到了《数学大师——从芝诺到庞加莱》,今天就再说一说。这本书和那本《古今数学思想》都有个好处就是薄古厚今,但是侧重点明显不同,前者是以有代表性的数学大师的传记按时间次序排列的通俗数学史,后者是以数学这门学科的发展为主线,辅以数学家们的贡献的比较严肃的数学史。也许是数学普及这样的定位使得作者纵横恣肆施展才学,书中作者的观点毫不隐讳,旗帜鲜明。
  以柏拉图和古典几何的关系为例:
  在说明阿基米德何以是最伟大的数学之一时,埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)说:“在所有古希腊人中,只有他有足够的才干和力量,去跨过那些因听信了哲学家的话而被吓慌了的几何学家们扔在数学前进道路上的障碍。”阿基米德的力量和才干表现在他在那个数学工具很原始的时代,使用很现代的思想和方法解决问题。比如他推导圆面积和球体积公式,就已经有微积分的雏形。
  哪个哲学家?又怎样吓唬了几何学家的?这个哲学家就是柏拉图,那个挥舞在柏拉图手中的吓唬人的剑就是“尺规作图”。尺规作图上过初中的国人都清楚,但是没有人问尺子上明明有刻度凭啥不让用?贝尔对柏拉图的控诉(几乎可以算得上):“所有其他工具画的图都被称为是‘机械的’,而这样的图,由于某种只有柏拉图和他几何化的上帝才知道的神秘的原因,被认为是极其低劣的,在可敬的几何学中是严格禁止的。”结果,尺规作图的确能解决很多问题,但是不能解决的问题更多。很快,就出现了很有代表性的“古代三问题”——三等分一个角;做一个立方体使它的体积等于一个已知立方体的两倍(立方倍积);作正方形使其与给定的圆面积相等(化圆为方)。
  古典几何学家在这些问题上耗费了许多个世纪,最后,直到1882年被证明这三个问题是不可能只用尺规作出的。而整个几何学则要到笛卡尔的解析几何横空出世,才算完全摆脱了柏拉图的影响。

闲话,都是闲话

星期一, 03月 24th, 2008
  闲话就是八卦,云无心的文章是从吃说到科学,老辛的文章是从音乐说到感性,再说到理性,我准备从科学和数学说到闲话上。呵呵,也就是我们这里说的“拉是非”。这个“拉”就是拉话,拉家常的“拉”,“是非”不是大是大非,都是些小事小非。
  高斯是一个天才数学家兼别的什么家,他的名言是“少,但是成熟。”看起来是严以律己的,但是,也不是完全真理,为此他等于放弃了非欧几何的发明权。虽然这样的损失对他来说无所谓,单靠这个成果对于罗巴切夫斯基来说就跻身于优秀数学家的行列了。即使这样,高斯其实也写得极深刻也很广博。欧拉倒是没有说什么,相反的几乎什么都写。他是大数学家,但是,让他编写大学的本科教科书,他也干,好像也不是全为了钱。欧拉还写得极快,写完的稿子就摞在书桌一角,秘书来拿走上面的文稿去付印,往往是后面写的反而先发表。欧拉去世后,由瑞士出他的全集,也不知道出了多少年,总共好像有70多集,呵呵,赶上墨西哥的电视连续剧了——倍儿长。欧拉的文章属于数量质量都高的。本来自己是不能和上面说起的人相提并论的。不过为了说明数量和质量的问题,我就牺牲我的老脸一次了,老辛已经提醒我好几次了,日志更新太慢,老让人家等,我想我本来也不是什么写那“翰林院”的花团锦簇的文章的材料,干吗那么慢呢。以后一定加快!免得质量根本谈不上,也没有个数量。
  今天要说的是07年最后一期《万象》,上面登了戈革老先生的《丹京夜话:海森伯暮夜访玻尔,弗雷恩编剧演奇闻——20世纪物理学史中的一段公案及其有关的新资料》。这题目可不是一般的长啊,好处是看题目就知道文章的内容。就是那个“迷”一样的,玻尔和海森堡在1941年的哥本哈根会晤。这个问题杨振宁在《美与物理学》的著名演讲中也提到过,并且说海森堡的很好的传记还没有出现,这个问题还不能说清楚。但是,戈革老先生作为研究玻尔的专家,认为这件事情即使现在没有公布所有的资料,也能判断个八九不离十。那就是,海森堡二战时服务德国纳粹政权,去德国占领的丹麦“拜访”从前的老师玻尔,没有安什么好心肠。这篇文章很长,不过网上很容易搜索出来,有兴趣的可以看看,写得很有意思。尤其对喜欢八卦的我来说更是“读它千遍不厌倦”,不敢专美,所以把精彩部分说一说。
  文章除了用绝大部分篇幅说明的那次不愉快的会谈外,还对有些学人顺笔讨伐一下。但是都没有指名道姓,我看过后就辗转反侧无心睡眠了。为了知道老先生“骂”谁,我上网那是一个查啊,今天还没有全部查出来。实在受不了了,今天我就不继续孤军奋战了。希望要是万一对别人来说早知道的,我还重新发明一遍太累人。
  首先看这一段中国有一位老辈物理学家自称是C. F. 的“朋友”,认为我的说法“影射”了C.F.,是不应该的。后来材料公开(解密)了,证明我的“影射”完全没错!这是说的王福山,此人曾经是海森堡的学生,而C. F. 也是海森堡的学生。戈革对这个人说的算明显的。因为戈革和王福山对海森堡的评价的分歧,科学出版社出版的《世界著名科学家传记·物理学家》共收集了128个物理学家的传记,其中居然没有海森堡的传记,一般认为就是只收录28个物理学家也不应该没有海森堡。另有物理学界的沈惠川随着王福山的话就海森堡的问题说过更过分的话:其实海森堡就是造了原子弹也没有什么了不起,如果帮助德国造原子弹是一大罪状,那么帮助美国造原子弹(如波尔、费米等)又是什么呢?何况原子弹 是美国扔下的,而不是德国扔下的。”(《物理》杂志,一九九五年二十四卷五期, 314-315) ”
  也有这一段没有找到事主,在外文中,荷兰常被为‘地’(Netherland)。我国有一个大外行、死出风头,不懂装懂,也不查字典,竟将此词误认为‘新西兰’(New Zealand)。别人指出,他还不服气,说那是‘一时疏忽’。”只知道此人比戈革老先生年龄小,在1982年香山科学史会议上被戈革痛斥。知道的朋友告诉我。
  很赞成方舟子的作风,批评就指名道姓,让我们不明白内幕的人猜谜?太相信我们的能力和我们的网络了。

几项数据

星期三, 03月 19th, 2008

  咱们眉毛胡子一把抓,从古到今算在一起,光看数量,哪个国家数学家出得最多?根据苏格兰圣安德鲁斯大学数学和统计学院的网上数据,答案是法国233。后面跟着英格兰228,然后是德国191,往后到了美国169,而意大利110,俄罗斯91,波兰78,苏格兰53,乌克兰42,印度41,匈牙利35,中国32。共有提供传记的数学家1694个,在62个有数学家的国家中中国人数名列12。当然,你可以说他们的数据不客观公正。这个很有可能,因为他们不列颠算了三个国家,合起来数学家人数多达306,哈哈,这才是世界第一。不过他们没有为了世界第一,把这些数学家都算在一个国家里。就是苏格兰想给他们自己擦粉,也犯不着专门为难咱们中国不是吗?这项纪录中国不算好的,也不算差的。

  也许有人说,重要的是质量不是数量。真正重要的数学家出一个就够了。不错,有的数学家的工作够后世忙活500年。手头刚好有本书《数学大师——从芝诺到庞加莱》,美国数学家E·T·Bell著,1937年英文版,2004年汉译,书中选择数学大师35人,没有中国人入选。

  也许还有人说,历史是劳动人民写成的,不是英雄创造的。中国不是有很多数学成就吗?是的,这些成就老外知道吗?手头还有一套书,共四册,美国莫里斯·克莱因著《古今数学思想》,1972年英文版,2002年汉译。这套书关注的是数学自身的发展,并且“薄古厚今”,是公认的数学史类书中最好的,可是遗憾的是书中没有提到中国的数学,无论古代还是现代。一定有人还要说,外国人不知道中国人的能耐是他们无知,我要说的是,你这么能,怎么不叫人家知道呢?

  看清楚自己的位置,对前景抱着乐观的态度,无论祖先阔过没有,一定要子孙阔起来。这样才算完成了我们这一代人的任务。

课堂上的爱国主义教育——二项式定理

星期三, 03月 12th, 2008

  先来个脑筋急转弯:说战胜了两个世界冠军的人是不是世界冠军?答案在本文内寻找。

  二项式定理在高中阶段一般指的是两项和的n次方展开(就是问(a+b)的n次方等于多少),定理就是给出了一个公式,公式右边的每一项的次数都是n次,所以公式的实质就是确定每一项的系数。当这个n比较小的时候可以耐心地根据多项式的乘法逐步展开,但是n的值比较大的时候,比如10或者20,就不能还靠老办法一步一步机械地去乘了,有公式可以解决这个问题吗?我想历史上这样想的人很多,成功解决的非常少。
  历史上的一个时期,二项系数多用数表的形式给出。像这样:
  仔细看看,表格的规律一点都不复杂,除了边上的1以外,中间的任何数都是它上面相邻两个数的和。制成这样数表,无论给出多少层都不能得到一般公式。所以,给出一般公式才能称为某某某二项式定理。中学数学教科书把这个数表称为杨辉三角(不限于7层)。后来仔细一看杨辉的书上说是贾宪用过的,说应该叫贾宪三角,决定了我们发现有七层的三角数表不晚于11世纪。说比欧洲早500年左右。就是不考虑中国人好古,喜欢把什么事情都说成“古已有之”,我们接受杨辉说的,“贾宪已经在用了”。我们一起大概回顾一下二项是定理的发展:
二项是定理史略:
 时间  人物(著作)  最高展开次数  备注
 公元3世纪  欧几里德  2  几何方法
 1世纪  《九章算术》  3  不详
 11世纪中  贾宪  6  数表形式
 13世纪  约丹努斯  11  数表形式
 14世纪  朱世杰  8  数表形式
 1654年  帕斯卡  任何自然数  公式
 1665年  牛顿  任何有理数  公式
 1742年  卡斯蒂隆  任何自然数  给出证明
 1773年  欧拉  任何实数  公式证明
 约1829年  阿贝尔  任何复数  公式证明
  住:1)13世纪后欧洲在二项是方面一直在缓慢进步,没有停止,做出工作的数学家有十多个,只取5个有代表性的人物。
    2)第一个“给出证明”前都没有证明。
  史略完了,先说命名问题,7层数表可以称为贾宪三角(间接证据,不很理直气壮);12层约丹努斯三角(证据也不是很确切);9层朱世杰三角;n层帕斯卡三角。关键是后面二项式定理横空出世,你还好意思念念不忘什么什么三角?自然数次方展开公式称为帕斯卡二项式定理,有理数次方的——牛顿二项式定理,实数次方——欧拉二项式定理,终极定理,你知道的什么数都可以的,阿贝尔二项式定理。
  怎么也看不出来500年是怎么领先的。
  而且贾宪的6次和欧洲约丹努斯的差别应小于150年,因为你不能拿你的6次和别人的11次比。当然你可以说你战胜了刘翔和聂卫平——和聂卫平赛110米跨栏,和刘翔赛的围棋。


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